AX=0的最小二乘解
结论：当$||x||=1$时，$Ax=0$的最小二乘解是$A^TA$的最小特征值对应的特征向量。
上个命题等同于：$A^TA$的最小特征值所对应的特征向量可使得$||Ax||$最小。证明如下：
case 1：
若$x$为$A^TA$的特征向量，则有$A^TAx=\lambda x$，可以得到：
$$
||Ax||=(Ax)^T(Ax)=x^TA^TAx=\lambda x^Tx=\lambda
$$
由上式子可见，取$A^TA$的最小特征值对应的特征向量，可以使得$||Ax||$最小，最小值是$A^TA$最小特征值。
case 2：
若$x$不是$A^TA$的特征向量，则对$A$做SVD分解，得到：(奇异值按照降序排列)
$$
A = U \Sigma V^T
$$
则有：
$$
||Ax||=(Ax)^T(Ax)=x^TA^TAx \\
=x^TV \Sigma^T U^T U \Sigma V^T x\\
= x^TV \Sigma^T \Sigma V^T x
\tag{1}
$$
又因为：
$$
\Sigma^T \Sigma = \left[\begin{array}{ccc}
\delta_{1}^{2} & & \\
& \delta_{2}^{2} & \ldots & \\
& & & \delta_{n}^{2}
\end{array}\right]
\tag{2}
$$
在SVD分解中，右奇异矩阵$V$是一组$n$维的标准正交基，即：
$$
V = [\begin{array}{llll}
v_{1} & v_{2} & \cdots & v_{n}
\end{array}]
$$
因此，$n$维向量$x$可用该组基来表示：
$$
x=\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}+\cdots+\alpha_{n} v_{n}=\left[\begin{array}{llll}
v_{1} & v_{2} & \cdots & v_{n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\alpha_{1} \\
\alpha_{2} \\
\cdots \\
\alpha_{n}
\end{array}\right]
\tag{3}
$$
将公式（2）、（3）带入公式（1）中，可以得到：
$$
||Ax|| = \left[\begin{array}{llll}
\alpha_{1} & \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{llll}
\delta_{1}^{2} & & & \\
& \delta_{2}^{2} & & \\
& & \cdots & \\
& & & \delta_{n}^{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\alpha_{1} \\
\alpha_{2} \\
\cdots \\
\alpha_{n}
\end{array}\right]
$$
$$
||Ax||=\alpha_1^2\delta_1^2 + \alpha_2^2\delta_2^2+\cdots+\alpha_n^2\delta_n^2
$$
因为$||x||=1$，因此有：
$$
(\alpha_1^2+\alpha_2^2+ \cdots +\alpha_n^2)=1
$$
所以有
$$
||Ax|| \geq \alpha_1^2\delta_n^2 + \alpha_2^2\delta_n^2+\cdots+\alpha_n^2\delta_n^2=\delta_n^2
$$
其中$\delta_n^2$是$A^TA$的最小特征值，上个公式说明，若$x$不是特征向量，则$||Ax||$一定大于等于$x$是$A$的最小特征值对应的特征向量时的数值。
综上：取$A^TA$的最小特征值或者奇异值对应的特征向量可使得$Ax=0$在$||x||=1$的条件下得到最优解法。
在实际的SLAM系统中，我们通常只能获得$||x||\not=0$这一条件，那么下面这条推论就十分有用了：
若$||Ax||$在$||x||=1$时取得最小值的变量为$x^*$，则有$||Ax||$在$||x||=\mu,\mu>0$时的最优解为$x^{**}=\mu x^*$，这说明这两个优化问题的解仅相差一个尺度$\mu$，一个简单的证明如下：
由$||Ax||$在$||x||=1$时的解的条件我们有：
$$
||Ax||\ge||Ax^*||,||x||=||x^*||=1
$$
则当$||x||=\mu$时：
$$
||A\frac{x}{\mu}||\ge||Ax^*||,||Ax||\ge||A(\mu x^*)||
$$
即$$||\mu x^*||$$是$||Ax||$在$||x||=\mu,\mu>0$时的最优解。
